编者按量化市场风险对于期权定价、投资、金融监管和风险管理具有重要意义。而风险量化的关键在于选择科学的评估指标和工具。本期《财经研究》“海外归来”栏目翻译了西南财经大学经济与管理研究院杜在超教授和美国印第安纳大学Juan Carlos Escanciano教授在Management Science 2017年第4期合作发表的论文“Backtesting Expected Shortfall:Accounting for tail risk”。①该文首次提出了期望损失模型的后验分析方法，填补了金融风险管理领域的一个空白，也可为国内金融机构和学者提供借鉴和参考。 ① 原文版权归属INFORMS()，译文已获得原文的中文翻译版权。中文译文中出现的错误INFORMS概不负责，中文译文文责作者自负。我们感谢张栋浩在中文译稿中的大力帮助。Management Science是管理类国际顶级期刊。杜在超教授于2010年获得印第安纳大学经济学博士学位，2010年8月回国任教，2015年被评为教育部首届青年长江学者，主要研究领域包括金融计量和应用计量。 由于小样本T存在size扭曲，我们汇报了size-corrected powers。其中，ES的无条件后验分析很好地识别了备择假设A2和A6，条件后验分析对备择假设A1和A6具有最大的检验效能(Power值最大)，对备择假设A2-A5也具有一定的检验效果。在绝大多数情况下，CES(5)和MCES(5)有着比CVaR(5)和MCVaR(5)更大的检验效能(Power值更大)。最后，MUES和MCES(5)的检验效能随着样本外观测n的增加而变大，说明了这些检验对备择假设而言是满足一致性的。当模型的残差项服从其他分布时，比如说时变高阶距的Hansen-Skewed-t分布，也可以得到一致的结论。② ② 限于篇幅，没有汇报这些模拟结果，读者如有兴趣，可以向作者索取。 蒙特卡洛模拟的主要结论如下。当T很小时(T=250)，基本后验分析存在显著的size扭曲，但这些扭曲会随着T的增加而显著下降(T=2 500)。与之相比，修正的后验分析对T的取值具有稳健性。由于检验统计量需要根据模型和估计量去修正，size的改善会导致计算成本的增加。所以，我们建议大家在样本内观测T很大时(T=2 500，n=250)采用基本后验分析方法，在样本内观测T较小时(T=250，n=250)采用修正的后验分析方法。 模拟检验结果也说明了，无条件后验分析和条件后验分析是互补的，而不是替代的。因此，我们建议在实践中同时使用两种后验分析方法。模拟结果也显示，相比于VaR的检验，基于ES的检验效能更好。在本文下一节，我们将采用2007年金融危机期间三大股指的真实数据，进一步验证我们的结论。 五、实证应用 我们通过采用2007年金融危机期间全球三大股票指数，来检验ES作为风险度量指标的优点。实证结果显示，VaR后验分析方法在金融危机时期不能拒绝常规风险模型(残差项服从Student-t分布的AR(1)-GARCH(1, 1)模型)；但本文提出的ES后验分析方法能够在金融危机时期显著拒绝常规风险模型。我们的实证结果补充了Kourouma等(2011)及O’Brien和Szerszen(2014)的研究，他们分别以金融危机期间的股票指数和美国五大银行为研究对象，评估了传统后验分析的表现。为与之对比，我们将比较传统VaR后验分析和本文ES后验分析的表现。① ① 重复本文实证应用的R code，可以通过Run My Code网站获得()。 具体而言，本文采用S&P 500指数、DAX指数以及恒生指数的日度数据展开分析。数据通过finance.yahoo.com获得，时间期限是1997.1.1 -2009.6.30。表 10从样本内和样本外两个时间段对三大股指进行了描述统计，样本内时间是1991.1.1-2007.6.30，样本外时间是金融危机期间的2007.7.1-2009.6.30。概括地讲，股票指数呈现了尖峰后尾和波动率聚集的特点，并且这些特点在金融危机期间尤为明显。表 10显示，三大股指的超额峰度取值都很大，特别是1997年亚洲金融危机导致了恒生指数的超额峰度最大。图 1显示，三大股指的对数收益率存在波动率聚集现象，金融危机期间股指收益的波动更为明显，尤其是标普500指数在2008.7 -2009.3期间几乎下降了一半。在2001-2003年期间，由于911恐怖袭击和股市处于整体下行的阶段，S&P 500指数和DAX指数具有很大的波动。香港恒生指数则在1997年末经历了明显的波动。 我们通过AR(1)-GARCH(1, 1)-t模型拟合对数收益Yt。在给定置信水平α，VaR和ES等于：VaRt(α)=－a0Yt－1－σtFv－1(α), σt2=ω0+α0σt－12εt－12+β0σt－12，ESt(α)=－a0Yt－1－σtm(α), m(α)=E[εt|εt≤Fv－1(α)]。 我们采用样本内数据通过CMLE方法估计未知参数，并采用样本外数据做后验分析。表 11汇报了位置参数的估计结果，包括Fv-1(α)和m(α)。①表 11显示，三大股指存在明显的波动率惯性现象。恒生指数的自由度参数最小，所以它的厚尾现象也最为明显，这与表 10中恒生指数有最大的峰度相一致。 ① 本文中，我们将自由度参数处理成离散、未知的。那么，估计效应仅仅来源于位置参数和尺度参数的不确定性。Escanciano和Olmo(2010)有相似的发现。 图 2-4分别绘制了S&P 500指数、DAX指数以及恒生指数的VaR(0.05)和ES(0.1)估计结果。从中可知，-ES(0.1)要小于-VaR(0.05)。当Yt低于-VaR(0.05)时，-ES(0.1)更加接近真实的Yt。以2008年9月15日为例，当天雷曼兄弟破产，S&P 500指数下降4.83%，模型估计出的VaR(0.05)是1.82%，ES(0.1)则是2.65%，所以ES估计值更加接近真实损失。S&P 500指数收益在2007.7.1 -2009.6.30期间共有504个观测值中，其中41个观测值小于-VaR(0.05)。在这41个观测值中，S&P 500指数的平均损失是3.82%，VaR(0.05)的平均值是2.79%，而ES(0.1)的平均值则是3.07%。另外，还有11个观测值小于-ES(0.1)，S&P 500指数的平均损失是3.76%，VaR(0.05)的平均值是3.13%，而ES(0.1)的平均值则是3.20%。因此，ES比VaR更好地描述了极端损失，通过DAX和恒生指数也可以得到类似结论。 表 12汇报了2007年金融危机前后三大股票指数的碰撞序列取值$\left( {V\left( \alpha \right) = \sum\limits_{t = 1}^n {{{\hat h}_t}\left( \alpha \right)} } \right)$、累积碰撞序列取值($CV\left( \alpha \right) = \sum\limits_{t = 1}^n {{{\hat H}_t}\left( \alpha \right)} $)以及碰撞序列的预期值(nα)。危机前后时间段分别为2005.07.01 -2097.06.30和2007.07.01-2009.06.30。通过比较危机前后的V(α)和CV(α)，可以看到危机发生后风险显著增加。一个例外是DAX指数的V(0.01)在危机发生后下降了，但是CV(0.025)在危机发生后上升了。进一步看，尽管DAX指数在危机发生后的碰撞序列取值V(0.01)下降了，但是危机发生后的损失要大于危机之前，这也就解释了危机发生后CV(0.025)的上升和V(0.01)的下降。表 12的结果说明，在巴塞尔委员会建议的置信水平上(对VaR采取α=0.01)，碰撞序列和累积碰撞序列存在显著的差异。 图 5描述了金融危机期间三大股票指数的累积碰撞序列{${{\hat H}_t}$(0.1)}。当${{\hat H}_t}$(0.1)的取值较大，意味着当天股票指数产生了较大的损失。图 5显示，S&P500指数的累积碰撞序列取值大于DAX指数和恒生指数；三大股指的累积碰撞序列也都存在明显的聚集现象，反映了股指满足非鞅差序列的性质。我们将采用条件后验分析方法对此假设进行验证。 表 13汇报了三大股票指数无条件后验分析(UES、UVaR、MUES、MUVaR)以及条件后验分析(CES(5)、CVaR(5)、MCES(5)、MCVaR(5))的p值。ES的条件后验分析CES(5)和MCES(5)都拒绝了原假设中的风险模型，而VaR的条件后验分析CVaR(5)和MCVaR(5)则不能拒绝。图 6和图 7分别绘制了${{\hat H}_t}$(0.025)和${{\hat h}_t}$(0.01)的样本自相关图，从中也可以清楚地看到 ESt(0.025)在5%显著性水平上显著拒绝了原假设，而VaRt(0.01)则没有拒绝。 图 7显示，三个股指序列的碰撞序列${{\hat h}_t}$(0.01)都不存在显著的自相关性。DAX指数和恒生指数在滞后12阶时的${{\hat h}_t}$(0.01)自相关性都非常接近于0，因为这两个股指的Yt只有5次观测值小于-VaRt(0.01)，而S&P500指数有11次观测值要小于-VaRt(0.01)。2007年金融危机源于美国，并且对美国有更大的影响，所以导致了美国股市的极端损失要多于德国股市和香港股市。这也解释了为何表 13中S&P500指数的无条件检验UVaR只有很小的p值，而另外两个股票指数的p值较大。 另一方面，三个股指序列的累积碰撞序列${{\hat H}_t}$(0.025)都具有显著的自相关性。发生极端损失的次数可能不是很多，但是平均损失额很大，且高度自相关。碰撞序列${{\hat h}_t}$(0.01)仅仅考虑了尾部事件的聚集特点，没有考虑损失规模。但是，累积碰撞序列${{\hat H}_t}$(0.025)则同时考虑了极端损失的发生次数和每次产生的损失额。所以，正如表 13所示，基于累积碰撞序列${{\hat H}_t}$(0.025)的条件后验分析能更好地识别金融危机期间的风险模型问题。 总之，基于VaR的后验分析，我们会认为正常时期建立的风险模型在金融危机发生后也是适用的，并且据此计算的存款准备金也是足够的。但是，如果采用ES度量风险，本文提出的后验分析方法可以明确地拒绝正常时期的风险模型。我们的实证分析证实了ES相比于VaR更具备理论优势(Artzer等，1997，1999)，并且该理论优势也可以在市场风险的后验分析中获得经验证据。本文基于累积碰撞序列提出的一套后验分析方法，不仅有助于评估金融损失发生的可能性，也有助于发现金融损失的规模大小。 六、结论 尽管大量的理论证据表明，ES作为风险度量指标比VaR更具有优越性，但是直到最近金融机构和监管者才开始采用ES替换VaR。在这个转变过程中，一大挑战是没有工具可以用来评估ES模型(即，后验分析)。本文通过累积碰撞序列构建ES的无条件和条件后验分析，这也是基于碰撞序列对VaR进行后验分析的自然推广。但与碰撞序列不同，累积碰撞序列包括了尾部风险的信息，为风险提供了更加完整的描述。 本文提出了基本的无条件和条件后验分析方法和对估计风险保持稳健性的经修正的后验分析方法。无条件后验分析采用t检验对累积碰撞序列的均值进行假设检验，条件后验分析采用基于累积碰撞序列的Box-Pierce检验。同时，我们也建议大家采用累积碰撞序列的图形和自相关系数作为补充工具。在具体应用中，实践者需要对条件后验分析做出两个选择，分别是置信水平α和自相关阶数m。对于ES，我们建议选择α等于0.1、0.05或0.025，不建议取更小的值，因为此时需要很大的样本外观测才能对有限样本得到满意的渐进分布性质。关于自相关阶数的选择，我们选取了m=5。当然，一个合理的做法是通过数据驱动方法选择m(Escanciano和Labato，2009b)。该种方法在其他环境下被证明可以获得可靠的推论，它也可以用于本文情形中，从而以较小的计算成本获得数据驱动的ES后验分析。 附录A：假设 本节介绍检验方法所需的假设和一些公式。我们首先介绍一些符号。